12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik by Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

By Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, used to be sind lineare Ordnungen und wozu ben?tigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra? Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der F?lle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu k?nnen. Es behandelt hierzu je zw?lf Schl?sselkonzepte der folgenden zw?lf Themengebiete der Mathematik: Grundlagen, Zahlen, Zahlentheorie, Diskrete Mathematik, Lineare Algebra, Algebra, Elementare research, H?here research, Topologie und Geometrie, Numerik, Stochastik und Mengenlehre und Logik.  Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und pr?zisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beitr?ge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen. Das Buch ist geschrieben f?r Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und m?chte ein treuer Begleiter und eine zuverl?ssige Orientierungshilfe f?r das gesamte Studium sein.

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Wir ¨ definieren dadurch eine bestimmte Klasse (G, ◦) von Strukturen. Ahnliches gilt ¨ z. B. f¨ ur die Aquivalenzrelationen (A, ≡), die partiellen Ordnungen (P, <), die K¨ orper (K, +, ·, 0, 1), die Graphen (E, K), die metrischen R¨ aume (X, d), usw. Im Umgang mit Strukturen reduzieren wir oft die Struktur auf ihren Tr¨ ager und sprechen von einer Menge G als einer Gruppe, einer Menge M als einer linearen Ordnung, usw. Die strukturstiftenden Funktionen, Relationen und Konstanten sind dann stillschweigend mit dabei.

Die L¨ ange der Zeichenkette a, der Grad des Polynoms a, die Anzahl der Kanten des Graphen a, usw. Weiter wird dem Verfahren eine von der Eingabegr¨ oße n abh¨ angige Komplexit¨ at f (n) zugeordnet, die angibt, wie viel es kostet“, den Output f¨ ur Inputs a mit n(a) = n zu ” berechnen, z. B. die Anzahl der Rechenschritte (Laufzeit) oder die Gr¨ oße des ben¨ otigten Speichers. Wir sagen, dass der Algorithmus von der Komplexit¨ at O(g), o(g) bzw. g ist, falls f = O(g), f = o(g) bzw. f ∼ g gilt. Speziell hat ein Algorithmus quadratische Komplexit¨ at (in einer bestimmten Eingabegr¨ oße und Kostenfunktion), falls f = O(n2 ) gilt.

Wir schreiben a = sup(B), falls a das Supremum von B ist, und analog a = inf(B), falls a das Infimum von B ist. B heißt nach oben (unten) beschr¨ ankt, falls eine obere (untere) Schranke von B existiert. B heißt beschr¨ ankt, falls B nach unten und oben beschr¨ ankt ist. Eine partielle Ordnung < heißt vollst¨ andig, falls jede beschr¨ ankte nichtleere Teilmenge B von A ein Supremum (und folglich ein Infimum) besitzt. F¨ ur jede Menge M ist die Inklusion ⊆ eine vollst¨ andige ankt partielle Ordnung auf A = P (M ): Alle nichtleeren B ⊆ A sind beschr¨ (durch ∅ und M ) und es gilt sup(B ) = B und inf(B ) = B .

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