Algebra (Lehrbuch) by Siegfried Bosch

By Siegfried Bosch

Eine verständliche, konzise und immer flüssige Einführung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgfältige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde findet. Die vorliegende Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit Lösungshinweisen) sowie einführenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die berühmten Formeln aus dem sixteen. Jahrhundert zur Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich erläutert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das für das Studium der Algebra unentbehrlich ist.

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Bei der Anwendung von ¨ Kurzungsregeln in allgemeinen Ringen ist daher Vorsicht geboten. ¨ Ist R ein Ring und S ⊂ R eine Teilmenge, so nennt man S einen Unterring von R, wenn S bezuglich der Addition eine Untergruppe sowie bezuglich der ¨ ¨ Multiplikation ein Untermonoid von R ist. Insbesondere ist S mit den von R induzierten Verknupfungen selbst wieder ein Ring. Man nennt das Paar S ⊂ R ¨ auch eine Ringerweiterung. 1 Wir gehen in diesem Abschnitt zwar auf einige Notationen und Beispiele ffur ¨ nichtkommutative Ringe ein, werden ansonsten aber, wenn nichts anderes gesagt ist, unter einem Ring stets einen kommutativen Ring verstehen.

Ringe und Polynome von (∗) komplexe Zahlen sind. Es ist daher angemessen, f (x) in diesem Falle als polynomiale Funktion auf C zu interpretieren. Probleme anderer Art ergeben sich, wenn man algebraische Gleichungen mit Koeffizienten aus einem endlichen K¨orper F betrachten mochte; vgl. 8 zur Definition solcher ¨ Korper. Besteht F etwa aus den Elementen x1 , . . , xq , so ist ¨ q (x − xj ) = xq + . . + (−1)q x1 . . xq g(x) = j=1 eine polynomiale Funktion, die auf ganz F verschwindet, obwohl ihre “Koeffizienten” nicht alle Null sind.

Zum Nachweis von (ii) sei p als Primelement angenommen. Gilt dann p = xy mit x, y ∈ R, so ergibt sich p | x oder p | y aufgrund der Primelementeigenschaft von p. Nehmen wir p | x an, so existiert also ein c ∈ R mit pc = x, und es folgt p = xy = pcy. Da R ein Integritatsring ist, hat man cy = 1 und somit y ∈ R∗ , ¨ d. h. p ist irreduzibel. 3/6. ¨ Satz 6. Es sei R ein Hauptidealring und p ∈ R eine von 0 verschiedene Nichteinheit. Dann ist ¨aquivalent : (i) p ist irreduzibel. (ii) p ist Primelement.

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